Сильченков Илья

материалы к уроку, презентация с анимацией

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон и равна половине этой стороны. Так же по теореме средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине это стороны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой

Замечательных точки треугольника

Замечательные точки треугольника Точка пересечения медиан (центроид треугольника) ; Точка пересечения биссектрис, центр вписанной окружности; Точка пересечения серединных перпендикуляров; Точка пересечения высот (ортоцентр); Прямая Эйлера и окружность девяти точек; Точки Жергонна и Нагеля; Точка Ферма-Торричелли;

Точка пересечения медиан

Медиана треугольника- отрезок, соединяющий вершину любого угла треугольника с серединой противоположной стороны.

I. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

A B C A 1 C 1 B 1 1 2 3 4 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения двух медиан АА 1 и В В1 треугольника АВС и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. 2.Отрезок А 1 В 1 параллелен стороне АВ и 1/2 АВ = А 1 В 1 т. е. АВ = 2А1В1 (по теореме о средней линии треугольника), поэтому 1= 4 и 3= 2 (т.к. они внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и A 1 B 1 и секущей BB 1 для 1, 4 и AA 1 для 3, 2 3.Следовательно, треугольники АОВ и А 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит их стороны пропорциональны, т. е. равны отношения сторон АО и А 1 О, ВО и В 1 О, АВ и А 1 В 1 . Но АВ = 2А 1 В 1 , поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан ВВ 1 и АА 1 делит каждую из них в отношении 2:1 , считая от вершины. Теорема доказана. Аналогично можно доказать и про другие две медианы

Центр масс иногда называют центроидом. Именно поэтому говорят, что точка пересечения медиан- центроид треугольника. В этой же точке располагается и центр масс однородной треугольной пластинки. Если подобную пластинку поставить на булавку так, чтобы остриё булавки попало точно в центроид треугольника, то пластинка будет находиться в равновесии. Также точка пересечения медиан является центром вписанной окружности его серединного треугольника. Интересное свойство точки пересечения медиан связано с физическим понятием центра масс. Оказывается, если поместить в вершины треугольника равные массы, то их центр попадёт именно в эту точку.

Точка пересечения биссектрис

Биссектриса треугольника - отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину одного из углов треугольника с точкой лежащей на противоположной стороне.

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от его сторон.

Доказательство:

С А В А 1 В 1 С 1 0 1. Обозначим буквой О точку пересечения биссектрис АА 1 и ВВ 1 треугольника АВС. 3.Воспользуемся тем, что каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон и обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. Тогда ОК=OL и ОК=ОМ. А значит ОМ=OL , т. е. точка О равноудалена от сторон треугольника АВС и, значит, лежит на биссектрисе СС1 угла C . 4.Следовательво, все три биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. K L M Теорема доказана. 2.проведём из этой точки перпендикуляры ОК, OL и ОМ соответственно к прямым АВ, ВС и СА.

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединный перпендикуляр- прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, равноудаленной от вершин треугольника.

Доказательство:

В С A m n 1. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров т и п к сторонам АВ и ВС треугольника АВС. O 2. Воспользовавшись теоремой о том, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка и обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему, получим, что ОВ=ОА и ОВ=ОС. 3. Поэтому ОА=ОС, т. е. точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. 4. Следовательно, все три серединных перпендикуляра m, n и p к сторонам треугольника АВС пересекаются в точке О. Теорема доказана. р

Точка пересечения высот (или их продолжений)

Высота треугольника- перпендикуляр, проведенный из вершины любого угла треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке, которая может лежать в треугольнике, а может находиться за его пределами.

Доказательство:

Докажем, что прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 пересекаются в одной точке. В A C C2 C1 A1 A2 В 1 В 2 1. Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую, параллельную противоположной стороне. Получим треугольник А 2 В 2 С 2 . 2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ=А 2 С и АВ=СВ 2 как противоположные стороны параллелограммов АВА 2 С и АВСВ 2 , поэтому А 2 С=СВ 2 . Аналогично С 2 А=АВ 2 и С 2 В=ВА 2 . Кроме того, как следует из построения, СС 1 перпендикулярен А 2 В 2 , АА 1 перпендикулярен В 2 С 2 и ВВ 1 перпендикулярен А 2 С 2 (из следствия по теореме параллельных прямых и секущей) . Таким об p азом, прямые АА 1 , ВВ 1 и СС 1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А 2 В 2 С 2 . Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

© Кугушева Наталья Львовна, 2009 Геометрия, 8 класс ТРЕУГОЛЬНИКА ЧЕТЫРЕ ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ

Точка пересечения медиан треугольника Точка пересечения биссектрис треугольника Точка пересечения высот треугольника Точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника

Медианой (BD) треугольника называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. А В С D Медиана

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центре тяжести треугольника) и делятся этой точкой в отношении 2: 1, считая от вершины. АМ: МА 1 = ВМ: МВ 1 = СМ:МС 1 = 2:1. А А 1 В В 1 М С С 1

Биссектрисой (А D) треугольника называется отрезок биссектрисы внутреннего угла треугольника.

Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалённая от сторон угла, лежит на его биссектрисе. А М В С

Все биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке– центре вписанной в треугольник окружности. С В 1 М А В А 1 С 1 О Радиус окружности (ОМ) – перпендикуляр, опущенный из центра (т.О) на сторону треугольника

ВЫСОТА Высотой (С D) треугольника называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины треугольника на прямую, содержащую противолежащую сторону. A B C D

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. А А 1 В В 1 С С 1

СЕРЕДИННЫЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР Серединным перпендикуляром (DF) называется прямая, перпендикулярная стороне треугольника и делящая её пополам. А D F B C

А М В m O Каждая точка серединного перпендикуляра (m) к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

Все серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке– центре описанной около треугольника окружности. А В С О Радиусом описанной окружности является расстояние от центра окружности до любой вершины треугольника (ОА). m n p

Задания для учащихся Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, вписанную в тупоугольный треугольник. Для этого: Постройте биссектрисы в тупоугольном треугольнике с помощью циркуля и линейки. Точка пересечения биссектрис– центр окружности. Постройте радиус окружности: перпендикуляр из центра окружности на сторону треугольника. Постройте окружность, вписанную в треугольник.

2. Постройте с помощью циркуля и линейки окружность, описанную около тупоугольного треугольника. Для этого: Постройте серединные перпендикуляры к сторонам тупоугольного треугольника. Точка пересечения этих перпендикуляров– центр описанной окружности. Радиус окружности– расстояние от центра до любой вершины треугольника. Постройте окружность, описанную около треугольника.

Урок геометрии в 8-м классе разработан на основе модели позиционного обучения.

Цели урока:

• Изучение теоретического материала по теме «Четыре замечательные точки треугольника»;
• Развитие мышления, логики, речи, воображения обучающихся, умения анализировать и оценивать работу;
• Развитие умения групповой работы;
• Воспитание чувства ответственности за качество и результат выполняемой работы.

Оборудование:

• карточки с названиями групп;
• карточки с заданиями для каждой группы;
• бумага формата А-4 для записи результатов работы групп;
• эпиграф, записанный на доске.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Определение целей и темы урока.

Исторически геометрия началась с треугольника, поэтому вот уже два с половиной тысячелетия треугольник является символом геометрии. Школьная геометрия только тогда может стать интересной и содержательной, только тогда может стать собственно геометрией, когда в ней появляется глубокое и всестороннее изучение треугольника. Удивительно, но треугольник, несмотря на свою кажущуюся простоту, является неисчерпаемым объектом изучения – никто даже в наше время не осмелится сказать, что изучил и знает все свойства треугольника.

Кто не слышал о Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? А ведь сам треугольник таит в себе немало интересного и загадочного.

Центральное место треугольника занимают так называемые замечательные точки.

Думаю, что в конце урока вы сможете сказать: почему точки называются замечательными и являются ли они такими.

Какова тема нашего урока? «Четыре замечательные точки треугольника». Эпиграфом к уроку могут служить слова К. Вейерштрасса: «Математик, который не является отчасти поэтом, никогда не достигнет совершенства в математике» (эпиграф написан на доске).

Посмотрите на формулировку темы урока, на эпиграф и попробуйте определить цели вашей работы на уроке. В конце урока мы проверим, насколько вы их выполнили.

3. Самостоятельная работа обучающихся.

Подготовка к самостоятельной работе

Для работы на уроке вы должны выбрать себе одну из шести групп: «Теоретики», «Творчество», «Логики-конструкторы», «Практики», «Историки», «Эксперты».

Инструктаж

Каждая группа получает карточки с заданиями. Если задание непонятно, учитель дополнительно делает пояснения.

«Теоретики»

Задание: дайте определение основным понятиям, необходимым при изучении темы «Четыре замечательные точки треугольника» (высота треугольника, медиана треугольника, биссектриса треугольника, серединный перпендикуляр, вписанная окружность, описанная окружность), можно воспользоваться учебником; напишите основные понятия на листе бумаги.

«Историки»

биссектрисы центре вписанного круга перпендикуляры центре описанного круга . В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром медиан центром тяжести

В 20-х годах XIX в. французские математики Ж. Понселе, Ш. Брианшон и другие установили независимо друг от друга следующую теорему: основания медиан, основания высот и середин отрезков высот, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника, лежат на одной и той же окружности.

Эта окружность называется «окружностью девяти точек», или «окружностью Фейербаха», или «окружностью Эйлера». К. Фейербах установил, что центр этой окружности лежит на «прямой Эйлера».

Задание: проанализируйте статью и заполните таблицу, отражающую изученный материал.

«Творчество»

Задание: придумать синквэйн(ы) по теме «Четыре замечательные точки треугольника» (например, треугольник, точка, медиана и др.)

Правило написания синквэйна:

В первой строчке тема называется одним словом (обычно существительным).

Вторая строчка – это описание темы в двух словах (2 прилагательных).

Третья строчка – это описание действия в рамках этой темы тремя словами (глаголы, деепричастия).

Четвёртая строчка – это фраза из 4 слов, показывающая отношение к теме.

Проследняя строчка – это синоним (метафора) из одного слова, который повторяет суть темы.

«Логики-конструкторы»

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Любой треугольник имеет три медианы.

Биссектрисой называется отрезок биссектрисы любого угла от вершины до пересечения с противоположной стороной. Любой треугольник имеет три биссектрисы.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение. Любой треугольник имеет три высоты.

Серединный перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярно к нему. Любой треугольник имеет три серединных перпендикуляра.

Задание: Используя треугольные листы бумаги, построить сгибанием точки пересечения медиан, высот, биссектрис, серединных перпендикуляров. Объяснить это всему классу.

«Практики»

В четвёртой книге «Начал» Евклид решает задачу «Вписать круг в данный треугольник». Из решения вытекает, что три биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанного круга . Из решения другой задачи Евклида вытекает, что перпендикуляры , восстановленные к сторонам треугольника в их серединах, тоже пересекаются в одной точке – центре описанного круга . В «Началах» не говорится о том, что и три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром (греческое слово «ортос» означает прямой, правильный). Это предложение было, однако, известно Архимеду, Паппу, Проклу. Четвёртой особенной точкой треугольника является точка пересечения медиан . Архимед доказал, что она является центром тяжести (барицентром) треугольника. На вышеназванные четыре точки было обращено особое внимание, начиная с XVIII в. Они были названы «замечательными» или «особенными точками треугольника».

Исследование свойств треугольника, связанных с этими и другими точками, послужило началом для создания новой ветви элементарной математики – «геометрии треугольника», или «новой геометрии треугольника», одним из родоначальников которой был Леонард Эйлер.

Задание: проанализируйте предложенный материал и придумайте схему, отражающую смысловые связи между единицами, поясните её, нарисуйте на листе бумаги, оформите на доске.

Замечательные точки треугольника

1.____________ 2.___________ 3.______________ 4.____________

Чертёж 1 Чертёж 2 Чертёж 3 Чертёж 4

____________ ___________ ______________ ____________

(пояснение)

«Эксперты»

Задание: составьте таблицу, в которой вы оцените работу каждой группы, выберите параметры, по которым вы будете оценивать работу групп, определите баллы.

Параметры могут быть такими: участие каждого обучающегося в работе своей группы, участие в защите, интересное изложение материала, представлена наглядность и т.д.

В своём выступлении вы должны отметить позитивные и негативные моменты в деятельности каждой группы.

4. Выступление групп. (по 2-3 минуты)

Результаты работы вывешиваются на доске

5. Подведение итогов урока.

Посмотрите на цели, сформулированные вами в начале урока. Всё ли удалось вам выполнить?

Согласны ли вы с эпиграфом, который был выбран к сегодняшнему уроку?

6. Задание на дом.

1) Добейтесь того, чтобы треугольник, который опирается на остриё иглы в определённой точке, находился в равновесии, используя материал сегодняшнего урока.

2) Начертите в различных треугольниках все 4 замечательные точки.

На данном уроке мы рассмотрим четыре замечательные точки треугольника. На двух из них остановимся подробно, вспомним доказательства важных теорем и решим задачу. Остальные две вспомним и охарактеризуем.

Тема: Повторение курса геометрии 8 класса

Урок: Четыре замечательные точки треугольника

Треугольник - это, прежде всего, три отрезка и три угла, поэтому свойства отрезков и углов являются основополагающими.

Задан отрезок АВ. У любого отрезка есть середина, и через нее можно провести перпендикуляр - обозначим его за р. Таким образом, р - серединный перпендикуляр.

Теорема (основное свойство серединного перпендикуляра)

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре, равноудалена от концов отрезка.

Доказать, что

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 1). Они прямоугольные и равные, т.к. имеют общий катет ОМ, а катеты АО и ОВ равны по условию, таким образом, имеем два прямоугольных треугольника, равных по двум катетам. Отсюда следует, что гипотенузы треугольников тоже равны, то есть , что и требовалось доказать.

Рис. 1

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Задан отрезок АВ, серединный перпендикуляр к нему р, точка М, равноудаленная от концов отрезка (см. Рис. 2).

Доказать, что точка М лежит на серединном перпендикуляре к отрезку.

Рис. 2

Доказательство:

Рассмотрим треугольник . Он равнобедренный, так как по условию. Рассмотрим медиану треугольника: точка О - середина основания АВ, ОМ - медиана. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к его основанию, является одновременно высотой и биссектрисой. Отсюда следует, что . Но прямая р также перпендикулярна АВ. Мы знаем, что в точку О можно провести единственный перпендикуляр к отрезку АВ, значит, прямые ОМ и р совпадают, отсюда следует, что точка М принадлежит прямой р, что и требовалось доказать.

Если необходимо описать окружность около одного отрезка, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но центр каждой из них будет лежать на серединном перпендикуляре к отрезку.

Говорят, что серединный перпендикуляр есть геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка.

Треугольник состоит из трех отрезков. Проведем к двум из них серединные перпендикуляры и получим точку О их пересечения (см. Рис. 3).

Точка О принадлежит серединному перпендикуляру к стороне ВС треугольника, значит, она равноудалена от его вершин В и С, обозначим это расстояние за R: .

Кроме того, точка О находится на серединном перпендикуляре к отрезку АВ, т.е. , вместе с тем , отсюда .

Таким образом, точка О пересечения двух серединных

Рис. 3

перпендикуляров треугольника равноудалена от его вершин, а значит, она лежит и на третьем серединном перпендикуляре.

Мы повторили доказательство важной теоремы.

Три серединных перпендикуляра треугольника пересекаются в одной точке - центре описанной окружности.

Итак, мы рассмотрели первую замечательную точку треугольника - точку пересечения его серединных перпендикуляров.

Перейдем к свойству произвольного угла (см. Рис. 4).

Задан угол , его биссектриса AL, точка М лежит на биссектрисе.

Рис. 4

Если точка М лежит на биссектрисе угла, то она равноудалена от сторон угла, то есть расстояния от точки М до АС и до ВС сторон угла равны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, а углы и равны, так как AL - биссектриса угла . Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу, отсюда следует, что , что и требовалось доказать. Таким образом, точка на биссектрисе угла равноудалена от сторон этого угла.

Справедлива обратная теорема.

Теорема

Если точка равноудалена от сторон неразвернутого угла, то она лежит на его биссектрисе (см. Рис. 5).

Задан неразвернутый угол , точка М, такая, что расстояние от нее до сторон угла одинаковое.

Доказать, что точка М лежит на биссектрисе угла.

Рис. 5

Доказательство:

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра. Проведем из точки М перпендикуляры МК к стороне АВ и МР к стороне АС.

Рассмотрим треугольники и . Это прямоугольные треугольники, и они равны, т.к. имеют общую гипотенузу АМ, катеты МК и МР равны по условию. Таким образом, прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих элементов, против равных катетов лежат равные углы, таким образом, , следовательно, точка М лежит на биссектрисе данного угла.

Если необходимо вписать в угол окружность, это можно сделать, и таких окружностей бесконечно много, но их центры лежат на биссектрисе данного угла.

Говорят, что биссектриса есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Треугольник состоит из трех углов. Построим биссектрисы двух из них, получим точку О их пересечения (см. Рис. 6).

Точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АВ и ВС, обозначим расстояние за r: . Также точка О лежит на биссектрисе угла , значит, она равноудалена от его сторон АС и ВС: , , отсюда .

Несложно заметить, что точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон третьего угла, а значит, она лежит на

Рис. 6

биссектрисе угла . Таким образом, все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Итак, мы вспомнили доказательство еще одной важной теоремы.

Биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке - центре вписанной окружности.

Итак, мы рассмотрели вторую замечательную точку треугольника - точку пересечения биссектрис.

Мы рассмотрели биссектрису угла и отметили ее важные свойства: точки биссектрисы равноудалены от сторон угла, кроме того, отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны.

Введем некоторые обозначения (см. Рис. 7).

Обозначим равные отрезки касательных через х, у и z. Сторона ВС, лежащая против вершины А, обозначается как а, аналогично АС как b, АВ как с.

Рис. 7

Задача 1: в треугольнике известны полупериметр и длина стороны а. Найти длину касательной, проведенной из вершины А - АК, обозначенную за х.

Очевидно, что треугольник задан не полностью, и таких треугольников много, но, оказывается, некоторые элементы у них общие.

Для задач, в которых речь идет о вписанной окружности, можно предложить следующую методику решения:

1. Провести биссектрисы и получить центр вписанной окружности.

2. Из центра О провести перпендикуляры к сторонам и получить точки касания.

3. Отметить равные касательные.

4. Выписать связь между сторонами треугольника и касательными.